Dissertativa 5 - 2ª Fase - Dia 2 - IME 2023

Em uma experiência de campo, uma fonte sonora é deixada cair de um helicóptero a velocidade inicial nula. Um observador situado a uma distância desprezível do ponto de impacto no solo usa um instrumento para registrar a frequência da onda emitida pela fonte. Antes de a fonte atingir o solo, a frequência medida aumenta a princípio, mas depois se torna constante dentro do limite de precisão do instrumento.

Dados:

• massa da fonte sonora: m;
• frequência da fonte sonora: ${\mathrm{f}}_0$​;
• frequência máxima captada pelo instrumento do observador: ${\mathrm{f}}_1$​;
• velocidade local do som: ${\mathrm{v}}_{\mathrm{s}}$​;
• aceleração da gravidade: g.

Supondo que a força de arrasto que o ar exerce sobre a fonte sonora é dada por F = ${\mathrm{cv}}^2$, no sentido oposto ao do movimento, em que c é uma constante a ser calculada e v é a velocidade escalar instantânea da fonte:

a) Determine a velocidade máxima da fonte medida pelo observador em função dos dados listados acima.

b) Determine o valor da constante c.

c) Ao tentar exprimir a velocidade v em função do tempo t, em que t=0 é o instante em que a fonte deixa o repouso, indique quais das cinco funções abaixo, em que ${\mathrm{k}}_1$​ e ${\mathrm{k}}_2$​ são constantes positivas, não servem como aproximações de v(t) por serem inconsistentes no início e na estabilização da velocidade.

$\mathrm{v}\left(\mathrm{t}\right)\approx {\mathrm{f}}_1\left(\mathrm{t}\right)=\frac{{\mathrm{k}}_1\mathrm{t}}{1+{\mathrm{k}}_2\mathrm{t}}$

$\mathrm{v}\left(\mathrm{t}\right)\approx {\mathrm{f}}_2\left(\mathrm{t}\right)=\frac{{\mathrm{k}}_1{\mathrm{t}}^2}{1+{\mathrm{k}}_2\mathrm{t}}$

$\mathrm{v}\left(\mathrm{t}\right)\approx {\mathrm{f}}_3\left(\mathrm{t}\right)=\frac{{\mathrm{k}}_1}{1+{\mathrm{k}}_2\mathrm{t}}$

$\mathrm{v}\left(\mathrm{t}\right)\approx {\mathrm{f}}_4\left(\mathrm{t}\right)={\mathrm{k}}_1(1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}/{\mathrm{k}}_2})$

$\mathrm{v}\left(\mathrm{t}\right)\approx {\mathrm{f}}_5\left(\mathrm{t}\right)=\frac{{\mathrm{k}}_1(1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}/{\mathrm{k}}_2})}{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}/{\mathrm{k}}_2}}$