Questão 54 - Unicamp - R e Z - Unicamp 2027

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Gabarito

Geral
1. 1B
2. 2A
3. 3C
4. 4B
5. 5C
6. 6D
7. 7D
8. 8A
9. 9B
10. 10D
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21. 21C
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23. 23B
24. 24A
25. 25A
26. 26B
27. 27D
28. 28C
29. 29C
30. 30D
31. 31B
32. 32B
33. 33D
34. 34C
35. 35A
36. 36C
37. 37B
38. 38C
39. 39B
40. 40D
41. 41C
42. 42D
43. 43B
44. 44A
45. 45A
46. 46A
47. 47C
48. 48A
49. 49A
50. 50D
51. 51B
52. 52C
53. 53D
54. 54C
55. 55A
56. 56B
57. 57C
58. 58D
59. 59D
60. 60A
61. 61D
62. 62B
63. 63D
64. 64A
65. 65C
66. 66B
67. 67C
68. 68D
69. 69C
70. 70D
71. 71B
72. 72C

Questão ativa
Já visualizadas
Não visualizadas
Resolução pendente
ANL
Questão anulada
S/A
Sem alternativas

Questão 54

Objetiva

Considere a região

$A = {(x, y) \in ℝ^{2}; x \geq 0, 0 \leq y \leq f (x)}$

em que $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ , ilustrada na figura a seguir.

Considere a região B formada pela união de infinitos retângulos de base 1 e altura f(n), com $n \in ℤ, n \geq 0$ , como ilustrado na figura a seguir.

A região A está contida na região B, portanto, a área da região B é uma estimativa por excesso para a área da região A.

A área da região B é

Alternativas

A
9/10.
B
3/9.
C
3/2.
D
40/27.

Gabarito:
C

Seja $A_{n}$ a área de cada retângulo cuja base mede 1 e a altura mede $f (n)$ , conforme a figura a seguir, sendo $f (x) = \frac{1}{3^{x}} .$

Veja que:

$A_{0} = 1 \cdot f (0) = 1 \cdot 1 = 1 A_{1} = 1 \cdot f (1) = 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} A_{2} = 1 \cdot f (2) = 1 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{9} A_{3} = 1 \cdot f (3) = 1 \cdot \frac{1}{27} = \frac{1}{27}$

Logo, a área de B é dada por:

$Área (B) = A_{0} + A_{1} + A_{2} + A_{3} + \dots = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots$

Como essa soma é a soma dos infinitos termos de uma PG em que $a_{1} = 1$ e $q = \frac{1}{3}$ :

$Área (B) = \frac{a_{1}}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

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