Questão 52 - Unicamp - R e Z - Unicamp 2027

Pelas Relações de Girard, segue:

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2+{\mathrm{x}}_3=-\mathrm{b}\\ {\mathrm{x}}_1·{\mathrm{x}}_2+{\mathrm{x}}_1·{\mathrm{x}}_3+{\mathrm{x}}_2·{\mathrm{x}}_3=\mathrm{c}\\ {\mathrm{x}}_1·{\mathrm{x}}_2·{\mathrm{x}}_3=-8\end{array}\right.$

Com a equação

${\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2+{\mathrm{x}}_3=-\mathrm{b}\Rightarrow \mathrm{b}=-\left({\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2+{\mathrm{x}}_3\right)$

o maior valor de b ocorre quando a soma das soluções é a menor possível. Sendo as soluções inteiras e ${\mathrm{x}}_1·{\mathrm{x}}_2·{\mathrm{x}}_3=-8$, as raízes possíveis são:

${\mathrm{x}}_1$	${\mathrm{x}}_2$	${\mathrm{x}}_3$	${\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2+{\mathrm{x}}_3$
1	-1	8	8
1	1	-8	-6
-1	2	4	5
1	-2	4	3
1	2	-4	-1
2	2	-2	2
-1	-1	-8	-10
-1	-2	-4	-7
-2	-2	-2	-6

Logo, o maior valor de b é:

$\mathrm{b}=-\left(-1-1-8\right)=\boxed{10}$