Dissertativas 7 - 2ª Fase Dia 1 - ITA 2025

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Questão 7

Dissertativa
7

Considere o polinômio p(x)=x3+ax2+b. Determine os valores reais e b, sabendo que:

I. px tem uma raiz real dupla;

II. Os pontos x1, 0x2, 00, b são vértices de um triângulo retângulo, em que x1x2 são raizes distintas de px.

Resolução:

Sejam r1, r2 e r3 as raízes de p(x). Como p(x) admite raiz real dupla, suponha, sem perda de generalidade, que r1=r2.

Pelo Teorema da Raízes Múltiplas, temos que r1 é raiz simples do polinômio derivado p'(x). Assim:

p'(x) = 03·x2+2·a·x=0r1=0 ou r1=-2·a3

Para r1=0, temos b=0, de modo que os pontos dados em (II) seriam colineares, não formando um triângulo retângulo, conforme estabelecido. Desse modo, r1=-2·a3.

Pelas relações de Girard, temos:

r1+r2+r3=-a-2·a3-2·a3+r3=-ar3=a3

Também:

r1·r2·r3=-b-2·a3·-2·a3·a3=-bb=-4·a327  (*)

Desse modo, para que o triângulo A -2·a3,0; B = a3,0; C = 0,-4·a327 seja retângulo, temos que AC e BC devem ser perpendiculares entre si. Assim, trabalhando com os coeficientes angulares:

mAC·mBC=-1yC-yAxC-xA·yC-yBxC-xB=-1-4·a327-00+2·a3·-4·a327-00-a3=-1

Simplificando:

4·a318·a·4·a39·a=1a=±3·242

Desse modo, de (*), b=-4·a327, assim, as soluções para a e b são dadas por:

a=3·242 e b = -842 ou a=-3·242 e b = 842

7

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