Dissertativas 10 - 2ª Fase Dia 1 - ITA 2025

No cubo, toma-se a diagonal $\overline{\mathrm{FD}}$. Seja $\mathcal{l}$ a distância entre $\overline{\mathrm{FD}}$ e G.

Das relações métricas no triângulo retângulo:

$\mathcal{l}·2\sqrt{3}=2\sqrt{2}·2\Rightarrow \mathcal{l}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Quando vista da perspectiva da diagonal $\overline{\mathrm{FD}}$, a projeção do cubo é um hexágono regular de lado $\mathcal{l}$.

Como o hexágono é composto de 6 triângulos equiláteros de lado $\mathcal{l}$:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{hexag}}=6·{\mathrm{A}}_{∆}=6·\left(\frac{{\mathcal{l}}^2\sqrt{3}}{4}\right)\Rightarrow {\mathrm{A}}_{\mathrm{hexag}}=6·\left(\frac{{\displaystyle \frac{4·2}{3}}·\sqrt{3}}{4}\right)\Rightarrow \boxed{{\mathrm{A}}_{\mathrm{hexag}}=4\sqrt{3}}$