Dissertativas 6 - 2ª Fase Dia 1 - ITA 2025

Seja $p\left(n\right)$ a probabilidade de sair "cara" pela 4ª vez exatamente no enésimo lançamento.

Ao se lançar $n$ vezes a moeda, há $2^n$ sequências possíveis de resultados.

Se o enésimo lançamento é a 4ª ocorrência de "cara", então, há exatamente 3 resultados "cara" nos $n-1$ lançamentos anteriores, o que pode ocorrer de $\left(\begin{array}{c}n-1\\ 3\end{array}\right)$ maneiras.

Portanto: $p\left(n\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}n-1\\ 3\end{array}\right)}{2^n}$

Para que $p\left(n\right)$ seja máximo, deve-se ter $p\left(n\right)\ge p(n-1)$  e  $p\left(n\right)\ge p(n+1)$.

$\left(i\right) p\left(n\right)\ge p(n-1)\Rightarrow \frac{\left(\begin{array}{c}n-1\\ 3\end{array}\right)}{2^n}\ge \frac{\left(\begin{array}{c}n-2\\ 3\end{array}\right)}{2^{n-1}}\Rightarrow \frac{n-1}{n-4}\ge 2\Rightarrow n\le 7$

$\left(ii\right) p\left(n\right)\ge p(n+1)\Rightarrow \frac{\left(\begin{array}{c}n-1\\ 3\end{array}\right)}{2^n}\ge \frac{\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)}{2^{n+1}}\Rightarrow 2\ge \frac{n}{n-3}\Rightarrow n\ge 6$

Ou seja, $6\le n\le 7$. Como $n$ é um número natural, $\boxed{n=6}$ ou $\boxed{n=7}$.