Dissertativa 27 - Matemática - ITA 2002

Considere n pontos distintos ${\mathrm{A}}_1, {\mathrm{A}}_2, ... {\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}$ sobre uma circunferência de raio unitário, de forma que os comprimentos dos arcos $\stackrel{⏜}{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2}, \stackrel{⏜}{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3}, ..., \stackrel{⏜}{{\mathrm{A}}_{n-1}{\mathrm{A}}_n}$ formam uma progressão geométrica de termo inicial $\mathrm{\pi }$ e razão $\frac{1}{2}$. Para que valores de n $\in$ N teremos o comprimento do arco $\stackrel{⏜}{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{A}}_1}$ menor que $\frac{1}{512}$do comprimento da circunferência?

Obs.: Para todo arco $\stackrel{⏜}{{\mathrm{A}}_{\mathrm{k}}{\mathrm{A}}_{\mathcal{l}}}$, o comprimento considerado é o do arco que une o ponto ${\mathrm{A}}_{\mathrm{k}}$ ao ponto ${\mathrm{A}}_{\mathcal{l}}$ no sentido anti-horário.