Dissertativa 25 - Matemática - ITA 2002

1. Mostre que se uma matriz quadrada não-nula A satisfaz a equação

${\mathrm{A}}^3 + 3{\mathrm{A}}^2 + 2\mathrm{A} = 0 \left(1\right)$

então ${(\mathrm{A} + \mathrm{I})}^3$ = A + I, em que I é a matriz identidade.

2. Sendo dado que

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -2\end{array}\right]$

satisfaz à equação (1) acima, encontre duas matrizes não-nulas B e C tais que $B^3+C^3$ = B + C = A. Para essas matrizes você garante que o sistema de equações

$\left(\mathrm{B}-\mathrm{C}\right)\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$

tem solução (x, y) ≠ (0, 0)? Justifique.