Questão 77 - Prova V1 - Fuvest 2025

Passando as equações de circunferência para as formas reduzidas, tem-se:

i)       ${\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+{\mathrm{y}}^2=-3 \to$

         ${\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4+{\mathrm{y}}^2=-3+4 \to$

         ${\left(\mathrm{x}-2\right)}^2+{\mathrm{y}}^2=1$

O que representa uma circunferência de centro (2, 0) e raio 1.

ii)      ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-4\mathrm{y}=-3 \to$

         ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-4\mathrm{y}+4=-3+4 \to$

         ${\mathrm{x}}^2+{\left(\mathrm{y}-2\right)}^2=1$

O que representa uma circunferência de centro (0, 2) e raio 1.

Seja d a distância entre os centros das circunferências. Pela equação da distância entre pontos na Geometria Analítica, tem-se:

${\mathrm{d}}^2={\left(2-0\right)}^2+{\left(0-2\right)}^2\to {\mathrm{d}}^2=8\to \mathrm{d}=2\sqrt{2}$

A distância entre os centros é maior que a soma dos raios, uma vez que $2\sqrt{2 }>1+1=2$. Desse modo, as circunferências são exteriores e, portanto, não se interceptam.