Dissertativa 24 - 2ª Fase - Dia 1 - Unesp 2026

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Questão 24

Dissertativa

Observe três modelos de cadeados, com as respectivas instruções e recomendações de registro da senha de abertura dos cadeados:

a) Calcule o número de possibilidades de senhas distintas dos cadeados 1 e 2, seguindo as instruções e recomendações dos fabricantes. No caso do cadeado 2, sua resposta pode ser dada na forma fatorial $\frac{x!}{y!}$ , sem necessidade de conta.

b) Calcule o número de possibilidades de senhas distintas do cadeado 3, seguindo as instruções do fabricante.

Resolução:

a) Resposta: ${cadeado}_{1} = 10^{4} - 1$ e ${cadeado}_{2} = \frac{26!}{21!}$

Cadeado 1:
Deve-se calcular o total de sequências com 4 posições e desconsiderar a sequência correspondente à data do aniversário, ou seja:

Cadeado 2:
Deve-se calcular o total de sequências de 5 letras distintas, formadas com as 26 letras do alfabeto. Tem-se um arranjo simples de 26 letras, escolhidas cinco a cinco.

b) Resposta: $x = 8^{6} - 6 224$

Cadeado 3:
Deve-se calcular o total de sequências de 8 algarismos, formadas com 6 algarismos, sendo que não é permitido mais que 3 repetições de qualquer algarismo digitado.

$Total = QQ + QNQ (legenda : QQ : casos favoráveis e QNQ : casos desfavoráveis) . {Total = 8}^{6} sequências .$

QNQ é o total de senhas com 6 algarismos repetidos, 5 algarismos repetidos e 4 algarismos repetidos.

Sequências com 6 algarismos repetidos: ${QNQ}_{1} = 8 sequências$ .

Sequências com 5 algarismos repetidos: ${QNQ}_{2} = P_{6}^{5} \cdot C_{8, 2} = 6 \cdot 8 \cdot 7 = 336$ sequências.

Sequências com 4 algarismos repetidos, 2 de um tipo e 2 algarismos repetidos de outro tipo: ${QNQ}_{3} = P_{6}^{4, 2} \cdot C_{8, 2} = 15 \cdot 8 \cdot 7 = 840$ sequências.

Sequências com 4 algarismos repetidos, 4 de um tipo e 2 outros algarismos sem repetir:

${QNQ}_{4} = 8 \cdot P_{6}^{4} \cdot C_{7, 2} = 8 \cdot 30 \cdot 21 = 5 040$ sequências.

$Total = QQ + QNQ \Rightarrow 8^{6} = QQ + (6 + 336 + 840 + 5 040) \Rightarrow 8^{6} = QQ + 6 224$

$QQ = 8^{6} - 6 224$

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