Dissertativa 9 - 2ª Fase - Física - IME 2021

"Espaço: a fronteira final." Certa vez, esta conhecida nave interplanetária teve seu disco defletor destruído e entrou, logo em seguida, em movimento. Sabe-se que o disco defletor tem a funcionalidade de desviar qualquer partícula espacial que, mesmo pequena, em altas velocidades, poderia destruir a nave.
Considere uma outra nave espacial, de menor porte, que tenha sofrido o mesmo dano em seu disco defletor e seja obrigada a usar o escudo de força para se proteger. Seu escudo, ao invés de repelir, absorve a massa das partículas espaciais, como em choques perfeitamente inelásticos. O excesso de energia cinética, após cada choque, é dissipado pelo escudo, mas qualquer carga elétrica encontrada permanece no escudo, deixando-o carregado. A nave resolve se dirigir para о planeta ocupado mais próximo, para sofrer reparos. Por conta dos danos, só foi possível gerar uma velocidade inicial $v_0$ de 8% da velocidade da luz e seus motores foram desligados até o momento de entrar em órbita. Durante o percurso, a nave encontra uma nuvem de partículas eletricamente carregadas, realizando um trajeto retilíneo de comprimento L. Em média, uma partícula por quilômetro é encontrada pela nave. Essa nuvem localiza-se em uma região distante de qualquer influência gravitacional. Sabe-se que a nave permanecerá em uma órbita equatorial ao redor do planeta, cujo campo magnético apresenta intensidade uniforme, no sentido do polo Norte (N) para o polo Sul (S).

Dados: 

• nave: massa inicial $m_0$ = 300 toneladas e carga inicial $q_0$ nula; 
• partículas: massa média m = 100 mg e carga elétrica média q = 715 $\mu C$;
• planeta: massa M = 6,3 x 10²⁴ kg, raio R = 7.000 kg e intensidade do campo magnético B = 5 x 10^-5 T;
• constante de gravitação universal G = 6,67 x 10^-11 N.m²/kg²;
• velocidade da luz: c = 3 x 10⁸ m/s; e
• comprimento da nuvem L = 7,5 x 10⁸ km.

Observação: despreze a intensidade da força de repulsão entre as cargas de mesmo sinal. 

Diante do exposto, pede-se a: 

1. velocidade final da nave logo após o último choque; 
2. energia máxima dissipada pelo escudo em um único choque; e 
3. velocidade mínima da nave para manter uma órbita de altura H = 35 x 10³ km acima da superfície do planeta.