Dissertativa 9 - 2ª Fase - Dia 3 - IME 2009

Uma amostra de massa 1 g de determinado elemento radioativo ${}_{\mathrm{Z}}{}^{100}\mathrm{Q}$ (meia-vida 23,0 anos) decai, por meio de uma emissão alfa, gerando o elemento R (meia-vida 34,5 anos). Este, por sua vez, emite uma partícula beta, dando origem ao elemento estável S.
Sabe-se que as frações molares dos elementos Q e S são funções do tempo de decaimento, expressas, respectivamente, por:  

${\mathrm{X}}_{\mathrm{Q}}={\mathrm{e}}^{-{\mathrm{k}}_{\mathrm{l}}\mathrm{t}} {\mathrm{X}}_{\mathrm{s}}=1-\frac{{\mathrm{k}}_2}{{\mathrm{k}}_2-{\mathrm{k}}_1} {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{k}}_{\mathrm{l}}\mathrm{t}} -\frac{{\mathrm{k}}_1}{{\mathrm{k}}_1-{\mathrm{k}}_2}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{k}}_2\mathrm{t}}$

onde ${\mathrm{k}}_1 \mathrm{e} {\mathrm{k}}_2$ são as constantes de velocidade da primeira e da segunda reação de decaimento, respectivamente. 

Sabendo que o máximo de uma função da forma $\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{at}}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{bt}},$b < a < 0, t > 0,é obtido quando ${\mathrm{ae}}^{\mathrm{at}}-{\mathrm{be}}^{\mathrm{bt}}=0$, determine a máxima quantidade, em massa, que é atingida pelo elemento R.