Questão 43 - Unicamp - T e X - Unicamp 2027

Como $\overline{\mathrm{BC}} = \mathrm{R}$, tem-se que o triângulo BCO é isósceles, ou seja, $\mathrm{med}\left(\mathrm{C}\hat{\mathrm{O}}\mathrm{B}\right)= {15}^{\circ }$.

Pelo teorema do ângulo externo, $\mathrm{med}\left(\mathrm{A}\hat{\mathrm{C}}\mathrm{O}\right) = {15}^{\circ }+{15}^{\circ }= {30}^{\circ }$.

O triângulo AOC também é isósceles, logo $\mathrm{med}\left(\mathrm{O}\hat{\mathrm{A}}\mathrm{C}\right)= {30}^{\circ }$.

Mais uma vez, pelo teorema do ângulo externo, $\mathrm{med}\left(\mathrm{O}\hat{\mathrm{A}}\mathrm{P}\right)= {30}^{\circ }+ {15}^{\circ }={45}^{\circ }$.

No triângulo APO, assumindo $\mathrm{R} = 1$ e aplicando a lei dos cossenos, tem-se:

${\mathrm{AP}}^2=1^2+1^2-2·1·1·\cos {45}^{\circ }\Rightarrow {\mathrm{AP}}^2= 2-2·\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \mathrm{AP}=2-\sqrt{2}$

Portanto, $\boxed{\mathrm{AP}= \sqrt{2-\sqrt{2}}}$.