Dissertativa 5 - 2ª Fase - Dia 2 - Fuvest 2025

a. Para b = 3, os valores da sequência são:

$$\begin{gathered} {\mathrm{k}}_1=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8} \\ {\mathrm{k}}_2=\frac{2}{2^3}=\frac{2}{8} \\ {\mathrm{k}}_3=\frac{3}{2^3}=\frac{3}{8} \end{gathered}$$

A progressão formada é aritmética, pois a diferença entre termos consecutivos é constante. A razão da progressão aritmética é:

$\boxed{\mathrm{r}=\frac{2}{8}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8} \mathrm{ou} \mathrm{r}=\frac{3}{8}-\frac{2}{8}=\frac{1}{8}}$

b. Para n par e b ≤ 3, é preciso determinar o número máximo de casas decimais de ${\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}$.
Os valores da sequência para diferentes valores de b são:

• Para b = 1: $$\begin{gathered} {\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2^1} \\ \left.\begin{array}{r}{\mathrm{k}}_2=\frac{2}{2^1}=1\\ {\mathrm{k}}_4=\frac{4}{2^1}=2\\ {\mathrm{k}}_6=\frac{6}{2^1}=3\end{array}\right\} \end{gathered}$$ Progressão aritmética de razão: r = 2 – 1 = 1
• Para b = 2: $$\begin{gathered} {\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2^2}=\frac{\mathrm{n}}{4} \\ \left.\begin{array}{c}{\mathrm{k}}_2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\\ {\mathrm{k}}_4=\frac{4}{4}=1\\ {\mathrm{k}}_6=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\end{array}\right\} \end{gathered}$$ Progressão aritmética de razão: r = 1 $-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
• Para b = 3: $$\begin{gathered} {\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2^3}=\frac{\mathrm{n}}{8} \\ \left.\begin{array}{c}{\mathrm{k}}_2=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\\ {\mathrm{k}}_4=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\\ {\mathrm{k}}_6=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\end{array}\right\} \end{gathered}$$ Progressão aritmética de razão: r = $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}=0,25$

Número máximo de casas decimais, para b ≤ 3: duas.

c. Para que a soma dos termos seja um número inteiro, tem-se:

${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{k}}_1+{\mathrm{k}}_2+{\mathrm{k}}_3+\cdots +{\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}=\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\frac{\mathrm{i}}{2^{\mathrm{b}}}$

A soma de uma progressão aritmética com termo geral ${\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2^{\mathrm{b}}}$ é dada por:

${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\frac{\mathrm{i}}{2^{\mathrm{b}}}=\frac{1}{2^{\mathrm{b}}}+\frac{2}{2^{\mathrm{b}}}+\frac{3}{2^{\mathrm{b}}}+\cdots +\frac{\mathrm{n}}{2^{\mathrm{b}}}=\frac{1}{2^{\mathrm{b}}}·\left(1+2+3+\cdots +\mathrm{n}\right)$

Sabe-se que:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2^{\mathrm{b}}}·\left(1+2+3\dots +\mathrm{n}\right)=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+1\right)}{2^{\mathrm{b}}·2}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+1\right)}{2^{\mathrm{b}+1}}=\mathrm{x} \\ \mathrm{Sendo} \mathrm{x} \in \mathrm{\mathbb{N}}. \end{gathered}$$

Para que n seja o menor, tem-se:

$\boxed{\mathrm{n}+1=2^{\mathrm{b}+1}\iff \mathrm{n}=2^{\mathrm{b}+1}-1}$