Questão 70 - Fuvest - Prova V1 - Fuvest 2025

Poliedro Resolve - Resoluções - Fuvest 1ª Fase - 2025

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S/A
Sem alternativas

Questão 70

Objetiva

Seja $(a_{n})$ uma progressão aritmética cujo primeiro termo é $a_{1}$ e a razão r, ambos números reais. É possível construir uma outra sequência $(b_{n})$ , em que o primeiro termo é um número real $b_{1}$ e com a seguinte lei de formação

$b_{n + 1} = b_{n} + a_{n}$ ,

sendo n > 0 um número natural.

Por exemplo, se $b_{1} = 0$ e

$(a_{n}) = (1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .),$

tem-se

$(b_{n}) = (0, 1, 4, 9, 16, 25, . . .) .$

Com base em tais informações, os valores de $a_{1}$ e r foram escolhidos de forma que $(b_{n})$ também seja uma progressão aritmética de razão r'. Nessas condições, é correto afirmar:

Alternativas

A
$r' = a_{1}$
B
$r' = 2 a_{1}$
C
$r' = r$
D
$r' = 2 r$
E
$r' = b_{1} - a_{1}$

Gabarito:
A

Para que $(b_{n})$ seja uma progressão aritmética de razão r', a diferença entre um termo qualquer da sequência e o seu antecessor deve ser uma constante igual a r'.

Assim: $r' = b_{2} - b_{1} = b_{3} - b_{2} = b_{4} - b_{3} = b_{5} - b_{4} = . . . (1)$

Como $b_{n + 1} = b_{n} + a_{n}$ , então $b_{n + 1} - b_{n} = a_{n}$ .

Desse modo, desenvolvendo a equação (1): $r' = a_{1} = a_{2} = a_{3} = a_{4} = . . .$

Como $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, . . .)$ formam uma progressão aritmética de razão r e $a_{1} = a_{2} = a_{3} = a_{4} = . . .$ , então r = 0.

Desse modo: $r' = a_{1}$ .

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